פתור את 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

שלבי פתרון

כדי להחשיב את הביטוי, פתור את המשוואה שבה הוא שווה ל-0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -40 ו- q מחלק את המקדם המוביל 3. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 ב- ‎x+2 כדי לקבל ‎3x^{3}-5x^{2}+12x-20. כדי להחשיב את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל-0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -20 ו- q מחלק את המקדם המוביל 3. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=\frac{5}{3}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎3x^{3}-5x^{2}+12x-20 ב- ‎3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 כדי לקבל ‎x^{2}+4. כדי להחשיב את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל-0.

$$x^{2}+4=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎4 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

הפולינום x^{2}+4 אינו מפורק לגורמים מכיוון שאין לו שורשים רציונליים.

$$x^{2}+4$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים באמצעות השורשים שהתקבלו.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

הערך

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$