פתור את 3x^2-8x-15=0

$$3 { x }^{ 2 } -8x-15 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 4}{3} \approx 3.936749892$$

$$x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}\approx -1.270083225$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}-8x-15=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -8 במקום b, וב- -15 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

‎-8 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+180}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎180.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{244}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 244.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-8 הוא ‎8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{61}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎8 ל- ‎2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+8}{6}$$

חלק את ‎8+2\sqrt{61} ב- ‎6.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{8±2\sqrt{61}}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{61} מ- ‎8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{61}}{6}$$

חלק את ‎8-2\sqrt{61} ב- ‎6.

$$x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-15=0$$

הוסף ‎15 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-8x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

החסרת -15 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-8x=-\left(-15\right)$$

החסר ‎-15 מ- ‎0.

$$3x^{2}-8x=15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{15}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{15}{3}$$

חלק את ‎15 ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=5$$

חלק את ‎-\frac{8}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{4}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{4}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=5+\frac{16}{9}$$

הוסף את ‎5 ל- ‎\frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{61}{9}$$

פרק x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{61}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{9}}$$

פשט.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{61}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{61}}{3}$$

הוסף ‎\frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{61}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{61}}{3}$$