פתור את 3x^2-5x-4=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-4=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 5}{6} \approx 2.257333958$$

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}\approx -0.590667291$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- -4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+48}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{5±\sqrt{73}}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±\sqrt{73}}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎\sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±\sqrt{73}}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{73} מ- ‎5.

$$x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

החסרת -4 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-4\right)$$

החסר ‎-4 מ- ‎0.

$$3x^{2}-5x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{4}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{3}$$

חלק את ‎-\frac{5}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

הוסף את ‎\frac{4}{3} ל- ‎\frac{25}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{73}{36}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{73}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{36}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{73}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{73}}{6}$$

הוסף ‎\frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{73}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$$