פתור את 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10.333333333$$

$$x=12$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx-372. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=-36 b=31$$

שכתב את ‎3x^{2}-5x-372 כ- ‎\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 31 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-12 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-12=0 ו- 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- -372 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±67}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎67.

$$x=\frac{72}{6}$$

חלק את ‎72 ב- ‎6.

$$x=12$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±67}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎67 מ- ‎5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-62}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

הוסף ‎372 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

החסרת -372 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

החסר ‎-372 מ- ‎0.

$$3x^{2}-5x=372$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

חלק את ‎372 ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

חלק את ‎-\frac{5}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

הוסף את ‎124 ל- ‎\frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

הוסף ‎\frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$