פתור את 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8.333333333$$

$$x=10$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx-250. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -750.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -5.

$$a=-30 b=25$$

שכתב את ‎3x^{2}-5x-250 כ- ‎\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 25 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-10=0 ו- 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -5 במקום b, וב- -250 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

‎-5 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 3025.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-5 הוא ‎5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±55}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎5 ל- ‎55.

$$x=\frac{60}{6}$$

חלק את ‎60 ב- ‎6.

$$x=10$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{5±55}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎55 מ- ‎5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-50}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{25}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

הוסף ‎250 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

החסרת -250 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

החסר ‎-250 מ- ‎0.

$$3x^{2}-5x=250$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

חלק את ‎-\frac{5}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

הוסף את ‎\frac{250}{3} ל- ‎\frac{25}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

פרק x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

הוסף ‎\frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$