פתור את 3x^2-53x+232=

$$3 { x }^{ 2 } -53x+232=$$

פרק לגורמים

$$\left(x-8\right)\left(3x-29\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3x^{2}+ax+bx+232. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-53 ab=3\times 232=696$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 696.

$$-1,-696 -2,-348 -3,-232 -4,-174 -6,-116 -8,-87 -12,-58 -24,-29$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-696=-697 -2-348=-350 -3-232=-235 -4-174=-178 -6-116=-122 -8-87=-95 -12-58=-70 -24-29=-53$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -53.

$$a=-29 b=-24$$

שכתב את ‎3x^{2}-53x+232 כ- ‎\left(3x^{2}-29x\right)+\left(-24x+232\right).

$$\left(3x^{2}-29x\right)+\left(-24x+232\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -8 בקבוצה השניה.

$$x\left(3x-29\right)-8\left(3x-29\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-29 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-29\right)\left(x-8\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-53x+232=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{\left(-53\right)^{2}-4\times 3\times 232}}{2\times 3}$$

‎-53 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-4\times 3\times 232}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-12\times 232}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎232.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-2784}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎2809 ל- ‎-2784.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{25}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 25.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±5}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-53 הוא ‎53.

$$x=\frac{53±5}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{53±5}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{53±5}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎53 ל- ‎5.

$$x=\frac{58}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{58}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{29}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{53±5}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5 מ- ‎53.

$$x=\frac{48}{6}$$

חלק את ‎48 ב- ‎6.

$$x=8$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{29}{3} במקום x_{1} וב- ‎8 במקום x_{2}.

$$3x^{2}-53x+232=3\left(x-\frac{29}{3}\right)\left(x-8\right)$$

החסר את x מ- \frac{29}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3x^{2}-53x+232=3\times \frac{3x-29}{3}\left(x-8\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3x^{2}-53x+232=\left(3x-29\right)\left(x-8\right)$$

הערך

$$\left(x-8\right)\left(3x-29\right)$$