פתור את 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx-60. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -31.

$$a=-36 b=5$$

שכתב את ‎3x^{2}-31x-60 כ- ‎\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-12 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-12=0 ו- 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -31 במקום b, וב- -60 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

‎-31 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎961 ל- ‎720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-31 הוא ‎31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{31±41}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎31 ל- ‎41.

$$x=\frac{72}{6}$$

חלק את ‎72 ב- ‎6.

$$x=12$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{31±41}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎41 מ- ‎31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

הוסף ‎60 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

החסרת -60 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

החסר ‎-60 מ- ‎0.

$$3x^{2}-31x=60$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

חלק את ‎60 ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

חלק את ‎-\frac{31}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{31}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{31}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{31}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

הוסף את ‎20 ל- ‎\frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

פרק x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

פשט.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

הוסף ‎\frac{31}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$