פתור את 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2.097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1.430500874$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -2 במקום b, וב- -9 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

חלק את ‎2+4\sqrt{7} ב- ‎6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{7} מ- ‎2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

חלק את ‎2-4\sqrt{7} ב- ‎6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

הוסף ‎9 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

החסרת -9 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

החסר ‎-9 מ- ‎0.

$$3x^{2}-2x=9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

חלק את ‎9 ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

חלק את ‎-\frac{2}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

הוסף את ‎3 ל- ‎\frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

פרק x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

הוסף ‎\frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$