פתור את 3x^2-2x-5

$$3 { x }^{ 2 } -2x-5$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-5\right)\left(x+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3x^{2}+ax+bx-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-2 ab=3\left(-5\right)=-15$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -15.

$$1,-15 3,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -2.

$$a=-5 b=3$$

שכתב את ‎3x^{2}-2x-5 כ- ‎\left(3x^{2}-5x\right)+\left(3x-5\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(3x-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x ב- 3x^{2}-5x.

$$x\left(3x-5\right)+3x-5$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-5\right)\left(x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-2x-5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

‎-2 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-2 הוא ‎2.

$$x=\frac{2±8}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{2±8}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±8}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎2 ל- ‎8.

$$x=\frac{10}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{2±8}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8 מ- ‎2.

$$x=-\frac{6}{6}$$

חלק את ‎-6 ב- ‎6.

$$x=-1$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{3} במקום x_{1} וב- ‎-1 במקום x_{2}.

$$3x^{2}-2x-5=3\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(x-\left(-1\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3x^{2}-2x-5=3\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(x+1\right)$$

החסר את x מ- \frac{5}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3x^{2}-2x-5=3\times \frac{3x-5}{3}\left(x+1\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3x^{2}-2x-5=\left(3x-5\right)\left(x+1\right)$$

הערך

$$\left(3x-5\right)\left(x+1\right)$$