פתור את 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=4$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx-8. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -10.

$$a=-12 b=2$$

שכתב את ‎3x^{2}-10x-8 כ- ‎\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-4=0 ו- 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- -10 במקום b, וב- -8 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

‎-10 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

ההופכי של ‎-10 הוא ‎10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{10±14}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎10 ל- ‎14.

$$x=\frac{24}{6}$$

חלק את ‎24 ב- ‎6.

$$x=4$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{10±14}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

החסרת -8 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

החסר ‎-8 מ- ‎0.

$$3x^{2}-10x=8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

חלק את ‎-\frac{10}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

הוסף את ‎\frac{8}{3} ל- ‎\frac{25}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

פרק x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

פשט.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

הוסף ‎\frac{5}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$