פתור את 3x^2+8x-3=65

$$3 { x }^{ 2 } +8x-3=65$$

פתור עבור x

$$x = \frac{2 \sqrt{55} - 4}{3} \approx 3.610798991$$

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}\approx -6.277465658$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

החסר ‎65 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+8x-3-65=65-65$$

החסרת 65 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+8x-3-65=0$$

החסר ‎65 מ- ‎-3.

$$3x^{2}+8x-68=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 8 במקום b, וב- -68 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

‎8 בריבוע.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-68.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+816}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎816.

$$x=\frac{-8±\sqrt{880}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 880.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-8 ל- ‎4\sqrt{55}.

$$x=\frac{4\sqrt{55}-8}{6}$$

חלק את ‎-8+4\sqrt{55} ב- ‎6.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4\sqrt{55} מ- ‎-8.

$$x=\frac{-4\sqrt{55}-8}{6}$$

חלק את ‎-8-4\sqrt{55} ב- ‎6.

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=65-\left(-3\right)$$

החסרת -3 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+8x=65-\left(-3\right)$$

החסר ‎-3 מ- ‎65.

$$3x^{2}+8x=68$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{68}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{68}{3}$$

חלק את ‎\frac{8}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{4}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{4}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{68}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{4}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{68}{3}+\frac{16}{9}$$

הוסף את ‎\frac{68}{3} ל- ‎\frac{16}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{220}{9}$$

פרק x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{220}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{220}{9}}$$

פשט.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{55}}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2\sqrt{55}}{3}$$

החסר ‎\frac{4}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$