פתור את 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

פתור עבור x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎138 משני האגפים.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx-138. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=-18 b=23$$

שכתב את ‎3x^{2}+5x-138 כ- ‎\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 23 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-6 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-6=0 ו- 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+5x=138$$

החסר ‎138 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

החסרת 138 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 5 במקום b, וב- -138 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

‎5 בריבוע.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎25 ל- ‎1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±41}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-5 ל- ‎41.

$$x=\frac{36}{6}$$

חלק את ‎36 ב- ‎6.

$$x=6$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-5±41}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎41 מ- ‎-5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-46}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

חלק את ‎138 ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

חלק את ‎\frac{5}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{5}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{5}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{5}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

הוסף את ‎46 ל- ‎\frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

פרק x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

פשט.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

החסר ‎\frac{5}{6} משני אגפי המשוואה.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$