פתור את 3x^2+4x+3=0

$$3 { x }^{ 2 } +4x+3=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{5}i}{3}\approx -0.666666667+0.745355992i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i-2}{3}\approx -0.666666667-0.745355992i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+4x+3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 4 במקום b, וב- 3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

‎4 בריבוע.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\times 3}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-36}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-36.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-20}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של -20.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}i}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±2\sqrt{5}i}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-4 ל- ‎2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{5}i}{6}$$

חלק את ‎-4+2i\sqrt{5} ב- ‎6.

$$x=\frac{-2+\sqrt{5}i}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-4±2\sqrt{5}i}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{5} מ- ‎-4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i-4}{6}$$

חלק את ‎-4-2i\sqrt{5} ב- ‎6.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i-2}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-2+\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-\sqrt{5}i-2}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+3=0$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+4x+3-3=-3$$

החסרת 3 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+4x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{3}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{3}{3}$$

חלק את ‎-3 ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-1$$

חלק את ‎\frac{4}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{2}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{2}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-1+\frac{4}{9}$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{4}{9}.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{5}{9}$$

פרק x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{9}}$$

פשט.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{5}i}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{5}i}{3}$$

החסר ‎\frac{2}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-2+\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-\sqrt{5}i-2}{3}$$