פתור את 3x^2+2x+15=9

$$3 { x }^{ 2 } +2x+15=9$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}\approx -0.333333333+1.374368542i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}\approx -0.333333333-1.374368542i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+2x+15-9=9-9$$

החסרת 9 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+2x+15-9=0$$

החסר ‎9 מ- ‎15.

$$3x^{2}+2x+6=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 2 במקום b, וב- 6 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

‎2 בריבוע.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\times 6}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎4 ל- ‎-72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2 ל- ‎2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{6}$$

חלק את ‎-2+2i\sqrt{17} ב- ‎6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{17} מ- ‎-2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{6}$$

חלק את ‎-2-2i\sqrt{17} ב- ‎6.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

החסר ‎15 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+2x+15-15=9-15$$

החסרת 15 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+2x=9-15$$

החסר ‎15 מ- ‎9.

$$3x^{2}+2x=-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{6}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{6}{3}$$

חלק את ‎-6 ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-2$$

חלק את ‎\frac{2}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-2+\frac{1}{9}$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎\frac{1}{9}.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{17}{9}$$

פרק x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

החסר ‎\frac{1}{3} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$