פתור את 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

פתור עבור x

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx+10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 17.

$$a=2 b=15$$

שכתב את ‎3x^{2}+17x+10 כ- ‎\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x+2=0 ו- x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 17 במקום b, וב- 10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

‎17 בריבוע.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎289 ל- ‎-120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-17±13}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-17 ל- ‎13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-17±13}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

חלק את ‎-30 ב- ‎6.

$$x=-5$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

החסרת 10 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+17x=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

חלק את ‎\frac{17}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{17}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{17}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{17}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

הוסף את ‎-\frac{10}{3} ל- ‎\frac{289}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

פרק x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

פשט.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

החסר ‎\frac{17}{6} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$