פתור את 3x^2+17x+10

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10$$

פרק לגורמים

$$\left(x+5\right)\left(3x+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3x^{2}+ax+bx+10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 17.

$$a=2 b=15$$

שכתב את ‎3x^{2}+17x+10 כ- ‎\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

‎17 בריבוע.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎289 ל- ‎-120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-17±13}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-17 ל- ‎13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-4}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-17±13}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

חלק את ‎-30 ב- ‎6.

$$x=-5$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{2}{3} במקום x_{1} וב- ‎-5 במקום x_{2}.

$$3x^{2}+17x+10=3\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3x^{2}+17x+10=3\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+5\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3x^{2}+17x+10=3\times \frac{3x+2}{3}\left(x+5\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3x^{2}+17x+10=\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

הערך

$$\left(x+5\right)\left(3x+2\right)$$