פתור את 3x^2+14x-69

$$3 { x }^{ 2 } +14x-69$$

פרק לגורמים

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 3x^{2}+ax+bx-69. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=14 ab=3\left(-69\right)=-207$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -207.

$$-1,207 -3,69 -9,23$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+207=206 -3+69=66 -9+23=14$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 14.

$$a=-9 b=23$$

שכתב את ‎3x^{2}+14x-69 כ- ‎\left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 23 בקבוצה השניה.

$$3x\left(x-3\right)+23\left(x-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+14x-69=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

‎14 בריבוע.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎-69.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+828}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎828.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1024}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1024.

$$x=\frac{-14±32}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-14±32}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-14±32}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-14 ל- ‎32.

$$x=\frac{18}{6}$$

חלק את ‎18 ב- ‎6.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-14±32}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎32 מ- ‎-14.

$$x=-\frac{46}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-46}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{23}{3} במקום x_{2}.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{23}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x+\frac{23}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{23}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\times \frac{3x+23}{3}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎3 ב- ‎3 ו- ‎3.

$$3x^{2}+14x-69=\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

הערך

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$