פתור את 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1.833333333+2.153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1.833333333-2.153807997i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$3x^{2}+11x=-24$$

הוסף ‎24 לשני אגפי המשוואה.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

החסרת -24 מעצמו נותנת 0.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

החסר ‎-24 מ- ‎0.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 3 במקום a, ב- 11 במקום b, וב- 24 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

‎11 בריבוע.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

הכפל את ‎-12 ב- ‎24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎-288.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

הוצא את השורש הריבועי של -167.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-11 ל- ‎i\sqrt{167}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i\sqrt{167} מ- ‎-11.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

חילוק ב- ‎3 מבטל את ההכפלה ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

חלק את ‎\frac{11}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{11}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{11}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{11}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

הוסף את ‎-8 ל- ‎\frac{121}{36}.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

פרק x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

פשט.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

החסר ‎\frac{11}{6} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$