פתור את 3^14x+2y=6,3x+6y=18

$$3 ^ { 14 } x + 2 y = 6,3 x + 6 y = 18$$

פתור עבור x, y

$$x=0$$

$$y=3$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$4782969x+2y=6$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$4782969x=-2y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4782969.

$$x=\frac{1}{4782969}\left(-2y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{4782969} ב- ‎-2y+6.

$$x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+6y=18.

$$3\left(-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}\right)+6y=18$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{2y}{4782969}+\frac{2}{1594323}.

$$-\frac{2}{1594323}y+\frac{2}{531441}+6y=18$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{1594323} ל- ‎6y.

$$\frac{9565936}{1594323}y+\frac{2}{531441}=18$$

החסר ‎\frac{2}{531441} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{9565936}{1594323}y=\frac{9565936}{531441}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{9565936}{1594323}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{4782969}y+\frac{2}{1594323}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{4782969}\times 3+\frac{2}{1594323}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{4782969} ב- ‎3.

$$x=\frac{-2+2}{1594323}$$

הוסף את ‎\frac{2}{1594323} ל- ‎-\frac{2}{1594323} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4782969&2\\3&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4782969\times 6-2\times 3}&-\frac{2}{4782969\times 6-2\times 3}\\-\frac{3}{4782969\times 6-2\times 3}&\frac{4782969}{4782969\times 6-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}&-\frac{1}{14348904}\\-\frac{1}{9565936}&\frac{1594323}{9565936}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4782968}\times 6-\frac{1}{14348904}\times 18\\-\frac{1}{9565936}\times 6+\frac{1594323}{9565936}\times 18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=0,y=3$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$4782969x+2y=6,3x+6y=18$$

כדי להפוך את ‎4782969x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎4782969.

$$3\times 4782969x+3\times 2y=3\times 6,4782969\times 3x+4782969\times 6y=4782969\times 18$$

פשט.

$$14348907x+6y=18,14348907x+28697814y=86093442$$

החסר את ‎14348907x+28697814y=86093442 מ- ‎14348907x+6y=18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$14348907x-14348907x+6y-28697814y=18-86093442$$

הוסף את ‎14348907x ל- ‎-14348907x. האיברים ‎14348907x ו- ‎-14348907x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-28697814y=18-86093442$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-28697814y.

$$-28697808y=18-86093442$$

הוסף את ‎18 ל- ‎-86093442.

$$-28697808y=-86093424$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-28697808.

$$y=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום y ב- ‎3x+6y=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+6\times 3=18$$

הכפל את ‎6 ב- ‎3.

$$3x+18=18$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$3x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,y=3$$