פתור את 29x^2+8x+7=0

$$29 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}\approx -0.137931034+0.471544632i$$

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}\approx -0.137931034-0.471544632i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 29 במקום a, ב- 8 במקום b, וב- 7 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

‎8 בריבוע.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎29.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-116\times 7}}{2\times 29}$$

הכפל את ‎-116 ב- ‎7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-812}}{2\times 29}$$

הוסף את ‎64 ל- ‎-812.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-748}}{2\times 29}$$

הוצא את השורש הריבועי של -748.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{2\times 29}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎29.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-8 ל- ‎2i\sqrt{187}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{187}i}{58}$$

חלק את ‎-8+2i\sqrt{187} ב- ‎58.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{187} מ- ‎-8.

$$x=\frac{-2\sqrt{187}i-8}{58}$$

חלק את ‎-8-2i\sqrt{187} ב- ‎58.

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$29x^{2}+8x+7-7=-7$$

החסרת 7 מעצמו נותנת 0.

$$29x^{2}+8x=-7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎29.

$$\frac{29x^{2}+8x}{29}=-\frac{7}{29}$$

חילוק ב- ‎29 מבטל את ההכפלה ב- ‎29.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x=-\frac{7}{29}$$

חלק את ‎\frac{8}{29}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{4}{29}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{4}{29} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{7}{29}+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{4}{29} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{7}{29}+\frac{16}{841}$$

הוסף את ‎-\frac{7}{29} ל- ‎\frac{16}{841} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{187}{841}$$

פרק x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{187}{841}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{187}{841}}$$

פשט.

$$x+\frac{4}{29}=\frac{\sqrt{187}i}{29} x+\frac{4}{29}=-\frac{\sqrt{187}i}{29}$$

החסר ‎\frac{4}{29} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$