פתור את 27x^2-12x-4

$$27 x ^ { 2 } - 12 x - 4$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 27x^{2}+ax+bx-4. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-12 ab=27\left(-4\right)=-108$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -12.

$$a=-18 b=6$$

שכתב את ‎27x^{2}-12x-4 כ- ‎\left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right).

$$\left(27x^{2}-18x\right)+\left(6x-4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 9x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$9x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$27x^{2}-12x-4=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

‎-12 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 27\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-108\left(-4\right)}}{2\times 27}$$

הכפל את ‎-108 ב- ‎-4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 27}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 27}$$

הוצא את השורש הריבועי של 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 27}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 27}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎27.

$$x=\frac{12±24}{54}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±24}{54} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎24.

$$x=\frac{36}{54}$$

צמצם את השבר ‎\frac{36}{54} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 18.

$$x=\frac{2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±24}{54} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎24 מ- ‎12.

$$x=-\frac{12}{54}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{54} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{2}{9}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{2}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{2}{9} במקום x_{2}.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{9}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$27x^{2}-12x-4=27\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

החסר את x מ- \frac{2}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{2}{9}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{9} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{9x+2}{9}$$

הכפל את ‎\frac{3x-2}{3} ב- ‎\frac{9x+2}{9} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{3\times 9}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎9.

$$27x^{2}-12x-4=27\times \frac{\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)}{27}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎27 ב- ‎27 ו- ‎27.

$$27x^{2}-12x-4=\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$

הערך

$$\left(3x-2\right)\left(9x+2\right)$$