פתור את 27m^2-24m+20=0

$$27 m ^ { 2 } - 24 m + 20 = 0$$

פתור עבור m

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9}\approx 0.444444444+0.737027731i$$

$$m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}\approx 0.444444444-0.737027731i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$27m^{2}-24m+20=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 27 במקום a, ב- -24 במקום b, וב- 20 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 27\times 20}}{2\times 27}$$

‎-24 בריבוע.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 27\times 20}}{2\times 27}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎27.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-108\times 20}}{2\times 27}$$

הכפל את ‎-108 ב- ‎20.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-2160}}{2\times 27}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎-2160.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{-1584}}{2\times 27}$$

הוצא את השורש הריבועי של -1584.

$$m=\frac{-\left(-24\right)±12\sqrt{11}i}{2\times 27}$$

ההופכי של ‎-24 הוא ‎24.

$$m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{2\times 27}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎27.

$$m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54}$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎24 ל- ‎12i\sqrt{11}.

$$m=\frac{24+12\sqrt{11}i}{54}$$

חלק את ‎24+12i\sqrt{11} ב- ‎54.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9}$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{24±12\sqrt{11}i}{54} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12i\sqrt{11} מ- ‎24.

$$m=\frac{-12\sqrt{11}i+24}{54}$$

חלק את ‎24-12i\sqrt{11} ב- ‎54.

$$m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9} m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$27m^{2}-24m+20=0$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$27m^{2}-24m+20-20=-20$$

החסרת 20 מעצמו נותנת 0.

$$27m^{2}-24m=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎27.

$$\frac{27m^{2}-24m}{27}=-\frac{20}{27}$$

חילוק ב- ‎27 מבטל את ההכפלה ב- ‎27.

$$m^{2}+\left(-\frac{24}{27}\right)m=-\frac{20}{27}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-24}{27} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m=-\frac{20}{27}$$

חלק את ‎-\frac{8}{9}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{4}{9}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{4}{9} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{20}{27}+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{4}{9} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81}=-\frac{20}{27}+\frac{16}{81}$$

הוסף את ‎-\frac{20}{27} ל- ‎\frac{16}{81} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81}=-\frac{44}{81}$$

פרק m^{2}-\frac{8}{9}m+\frac{16}{81} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{4}{9}\right)^{2}=-\frac{44}{81}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(m-\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{44}{81}}$$

פשט.

$$m-\frac{4}{9}=\frac{2\sqrt{11}i}{9} m-\frac{4}{9}=-\frac{2\sqrt{11}i}{9}$$

הוסף ‎\frac{4}{9} לשני אגפי המשוואה.

$$m=\frac{4+2\sqrt{11}i}{9} m=\frac{-2\sqrt{11}i+4}{9}$$