פתור את 27x^2+33x-120=0

$$27 { x }^{ 2 } +33x-120=0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{1561} - 11}{18} \approx 1.583860696$$

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}\approx -2.806082918$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 27 במקום a, ב- 33 במקום b, וב- -120 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

‎33 בריבוע.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 27\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎27.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-108\left(-120\right)}}{2\times 27}$$

הכפל את ‎-108 ב- ‎-120.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+12960}}{2\times 27}$$

הוסף את ‎1089 ל- ‎12960.

$$x=\frac{-33±\sqrt{14049}}{2\times 27}$$

הוצא את השורש הריבועי של 14049.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{2\times 27}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎27.

$$x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-33 ל- ‎3\sqrt{1561}.

$$x=\frac{3\sqrt{1561}-33}{54}$$

חלק את ‎-33+3\sqrt{1561} ב- ‎54.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-33±3\sqrt{1561}}{54} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎3\sqrt{1561} מ- ‎-33.

$$x=\frac{-3\sqrt{1561}-33}{54}$$

חלק את ‎-33-3\sqrt{1561} ב- ‎54.

$$x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$27x^{2}+33x-120=0$$

הוסף ‎120 לשני אגפי המשוואה.

$$27x^{2}+33x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

החסרת -120 מעצמו נותנת 0.

$$27x^{2}+33x=-\left(-120\right)$$

החסר ‎-120 מ- ‎0.

$$27x^{2}+33x=120$$

חלק את שני האגפים ב- ‎27.

$$\frac{27x^{2}+33x}{27}=\frac{120}{27}$$

חילוק ב- ‎27 מבטל את ההכפלה ב- ‎27.

$$x^{2}+\frac{33}{27}x=\frac{120}{27}$$

צמצם את השבר ‎\frac{33}{27} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{120}{27}$$

צמצם את השבר ‎\frac{120}{27} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x=\frac{40}{9}$$

חלק את ‎\frac{11}{9}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{11}{18}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{11}{18} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{40}{9}+\left(\frac{11}{18}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{11}{18} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{40}{9}+\frac{121}{324}$$

הוסף את ‎\frac{40}{9} ל- ‎\frac{121}{324} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324}=\frac{1561}{324}$$

פרק x^{2}+\frac{11}{9}x+\frac{121}{324} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}=\frac{1561}{324}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1561}{324}}$$

פשט.

$$x+\frac{11}{18}=\frac{\sqrt{1561}}{18} x+\frac{11}{18}=-\frac{\sqrt{1561}}{18}$$

החסר ‎\frac{11}{18} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{1561}-11}{18} x=\frac{-\sqrt{1561}-11}{18}$$