פתור את 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 256x^{2}+ax+bx+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 256.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -32.

$$a=-16 b=-16$$

שכתב את ‎256x^{2}-32x+1 כ- ‎\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 16x בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 16x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 256 במקום a, ב- -32 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

‎-32 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

הוסף את ‎1024 ל- ‎-1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

ההופכי של ‎-32 הוא ‎32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎256.

$$x=\frac{32}{512}$$

צמצם את השבר ‎\frac{32}{512} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

חילוק ב- ‎256 מבטל את ההכפלה ב- ‎256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-32}{256} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

חלק את ‎-\frac{1}{8}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{16}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{16} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{16} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{256} ל- ‎\frac{1}{256} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

הוסף ‎\frac{1}{16} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$x=\frac{1}{16}$$