פתור את 25y^2-60y+36

$$25 y ^ { 2 } - 60 y + 36$$

פרק לגורמים

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 25y^{2}+ay+by+36. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-60 ab=25\times 36=900$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -60.

$$a=-30 b=-30$$

שכתב את ‎25y^{2}-60y+36 כ- ‎\left(25y^{2}-30y\right)+\left(-30y+36\right).

$$\left(25y^{2}-30y\right)+\left(-30y+36\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5y בקבוצה הראשונה ואת -6 בקבוצה השניה.

$$5y\left(5y-6\right)-6\left(5y-6\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5y-6 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(25y^{2}-60y+36)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(25,-60,36)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 25y^{2}.

$$\sqrt{25y^{2}}=5y$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 36.

$$\sqrt{36}=6$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(5y-6\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$25y^{2}-60y+36=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

‎-60 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-100\times 36}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎36.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3600}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎3600 ל- ‎-3600.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$y=\frac{-\left(-60\right)±0}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-60 הוא ‎60.

$$y=\frac{60±0}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$y=\frac{60±0}{50}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{6}{5} במקום x_{1} וב- ‎\frac{6}{5} במקום x_{2}.

$$25y^{2}-60y+36=25\left(y-\frac{6}{5}\right)\left(y-\frac{6}{5}\right)$$

החסר את y מ- \frac{6}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{5y-6}{5}\left(y-\frac{6}{5}\right)$$

החסר את y מ- \frac{6}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{5y-6}{5}\times \frac{5y-6}{5}$$

הכפל את ‎\frac{5y-6}{5} ב- ‎\frac{5y-6}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)}{5\times 5}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎5.

$$25y^{2}-60y+36=25\times \frac{\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)}{25}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎25 ב- ‎25 ו- ‎25.

$$25y^{2}-60y+36=\left(5y-6\right)\left(5y-6\right)$$

הערך

$$\left(5y-6\right)^{2}$$