פתור את 25x^2-90x+82=0

$$25 x ^ { 2 } - 90 x + 82 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i=1.8+0.2i$$

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i=1.8-0.2i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 25 במקום a, ב- -90 במקום b, וב- 82 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

‎-90 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 82}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 82}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎82.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8200}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎8100 ל- ‎-8200.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-100}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של -100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10i}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-90 הוא ‎90.

$$x=\frac{90±10i}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$x=\frac{90±10i}{50}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{90±10i}{50} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎90 ל- ‎10i.

$$x=\frac{90+10i}{50}$$

חלק את ‎90+10i ב- ‎50.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{90±10i}{50} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10i מ- ‎90.

$$x=\frac{90-10i}{50}$$

חלק את ‎90-10i ב- ‎50.

$$x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+82=0$$

החסר ‎82 משני אגפי המשוואה.

$$25x^{2}-90x+82-82=-82$$

החסרת 82 מעצמו נותנת 0.

$$25x^{2}-90x=-82$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{82}{25}$$

חילוק ב- ‎25 מבטל את ההכפלה ב- ‎25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{82}{25}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-90}{25} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{82}{25}$$

חלק את ‎-\frac{18}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{9}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{9}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{82}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{9}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-82+81}{25}$$

הוסף את ‎-\frac{82}{25} ל- ‎\frac{81}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}i x-\frac{9}{5}=-\frac{1}{5}i$$

הוסף ‎\frac{9}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{9}{5}+\frac{1}{5}i x=\frac{9}{5}-\frac{1}{5}i$$