פתור את 25x^2-80x+64

$$25 x ^ { 2 } - 80 x + 64$$

פרק לגורמים

$$\left(5x-8\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 25x^{2}+ax+bx+64. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-80 ab=25\times 64=1600$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 1600.

$$-1,-1600 -2,-800 -4,-400 -5,-320 -8,-200 -10,-160 -16,-100 -20,-80 -25,-64 -32,-50 -40,-40$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-1600=-1601 -2-800=-802 -4-400=-404 -5-320=-325 -8-200=-208 -10-160=-170 -16-100=-116 -20-80=-100 -25-64=-89 -32-50=-82 -40-40=-80$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -80.

$$a=-40 b=-40$$

שכתב את ‎25x^{2}-80x+64 כ- ‎\left(25x^{2}-40x\right)+\left(-40x+64\right).

$$\left(25x^{2}-40x\right)+\left(-40x+64\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת -8 בקבוצה השניה.

$$5x\left(5x-8\right)-8\left(5x-8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5x-8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x-8\right)\left(5x-8\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(5x-8\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(25x^{2}-80x+64)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(25,-80,64)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 25x^{2}.

$$\sqrt{25x^{2}}=5x$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 64.

$$\sqrt{64}=8$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(5x-8\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$25x^{2}-80x+64=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 25\times 64}}{2\times 25}$$

‎-80 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 25\times 64}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-100\times 64}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎64.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-6400}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎6400 ל- ‎-6400.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±0}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-80 הוא ‎80.

$$x=\frac{80±0}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$x=\frac{80±0}{50}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{8}{5} במקום x_{1} וב- ‎\frac{8}{5} במקום x_{2}.

$$25x^{2}-80x+64=25\left(x-\frac{8}{5}\right)\left(x-\frac{8}{5}\right)$$

החסר את x מ- \frac{8}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25x^{2}-80x+64=25\times \frac{5x-8}{5}\left(x-\frac{8}{5}\right)$$

החסר את x מ- \frac{8}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25x^{2}-80x+64=25\times \frac{5x-8}{5}\times \frac{5x-8}{5}$$

הכפל את ‎\frac{5x-8}{5} ב- ‎\frac{5x-8}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25x^{2}-80x+64=25\times \frac{\left(5x-8\right)\left(5x-8\right)}{5\times 5}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎5.

$$25x^{2}-80x+64=25\times \frac{\left(5x-8\right)\left(5x-8\right)}{25}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎25 ב- ‎25 ו- ‎25.

$$25x^{2}-80x+64=\left(5x-8\right)\left(5x-8\right)$$

הערך

$$\left(5x-8\right)^{2}$$