פתור את 25x^2-70x-15

$$25 x ^ { 2 } - 70 x - 15$$

פרק לגורמים

$$5\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 5.

$$5\left(5x^{2}-14x-3\right)$$

שקול את 5x^{2}-14x-3. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 5x^{2}+ax+bx-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-14 ab=5\left(-3\right)=-15$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -15.

$$1,-15 3,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -14.

$$a=-15 b=1$$

שכתב את ‎5x^{2}-14x-3 כ- ‎\left(5x^{2}-15x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(x-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x ב- 5x^{2}-15x.

$$5x\left(x-3\right)+x-3$$

הוצא את האיבר המשותף x-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$5\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$25x^{2}-70x-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

‎-70 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-100\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900+1500}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎4900 ל- ‎1500.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{6400}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 6400.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±80}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-70 הוא ‎70.

$$x=\frac{70±80}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$x=\frac{70±80}{50}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{70±80}{50} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎70 ל- ‎80.

$$x=\frac{150}{50}$$

חלק את ‎150 ב- ‎50.

$$x=3$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{70±80}{50} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎80 מ- ‎70.

$$x=-\frac{10}{50}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{50} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=-\frac{1}{5}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{5} במקום x_{2}.

$$25x^{2}-70x-15=25\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$25x^{2}-70x-15=25\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{5} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25x^{2}-70x-15=25\left(x-3\right)\times \frac{5x+1}{5}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎5 ב- ‎25 ו- ‎5.

$$25x^{2}-70x-15=5\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$

הערך

$$5\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$