פתור את 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 25x^{2}+ax+bx+16. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -40.

$$a=-20 b=-20$$

שכתב את ‎25x^{2}-40x+16 כ- ‎\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x בקבוצה הראשונה ואת -4 בקבוצה השניה.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5x-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

כדי למצוא פתרון משוואה, פתור את 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 25 במקום a, ב- -40 במקום b, וב- 16 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

‎-40 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎1600 ל- ‎-1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-40 הוא ‎40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$x=\frac{40}{50}$$

צמצם את השבר ‎\frac{40}{50} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

החסרת 16 מעצמו נותנת 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

חילוק ב- ‎25 מבטל את ההכפלה ב- ‎25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-40}{25} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

חלק את ‎-\frac{8}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{4}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{4}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

הוסף את ‎-\frac{16}{25} ל- ‎\frac{16}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

פרק את ‎x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

פשט.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

הוסף ‎\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת. הפתרונות זהים.

$$x=\frac{4}{5}$$