פתור את 25r^2+10r+1

$$25 r ^ { 2 } + 10 r + 1$$

פרק לגורמים

$$\left(5r+1\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 25r^{2}+ar+br+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=10 ab=25\times 1=25$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 25.

$$1,25 5,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+25=26 5+5=10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 10.

$$a=5 b=5$$

שכתב את ‎25r^{2}+10r+1 כ- ‎\left(25r^{2}+5r\right)+\left(5r+1\right).

$$\left(25r^{2}+5r\right)+\left(5r+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5r ב- 25r^{2}+5r.

$$5r\left(5r+1\right)+5r+1$$

הוצא את האיבר המשותף 5r+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5r+1\right)\left(5r+1\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(5r+1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(25r^{2}+10r+1)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(25,10,1)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 25r^{2}.

$$\sqrt{25r^{2}}=5r$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(5r+1\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$25r^{2}+10r+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$r=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

‎10 בריבוע.

$$r=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$r=\frac{-10±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-100.

$$r=\frac{-10±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$r=\frac{-10±0}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$r=\frac{-10±0}{50}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{1}{5} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{5} במקום x_{2}.

$$25r^{2}+10r+1=25\left(r-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)\left(r-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$25r^{2}+10r+1=25\left(r+\frac{1}{5}\right)\left(r+\frac{1}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{5} ל- ‎r על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25r^{2}+10r+1=25\times \frac{5r+1}{5}\left(r+\frac{1}{5}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{5} ל- ‎r על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25r^{2}+10r+1=25\times \frac{5r+1}{5}\times \frac{5r+1}{5}$$

הכפל את ‎\frac{5r+1}{5} ב- ‎\frac{5r+1}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25r^{2}+10r+1=25\times \frac{\left(5r+1\right)\left(5r+1\right)}{5\times 5}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎5.

$$25r^{2}+10r+1=25\times \frac{\left(5r+1\right)\left(5r+1\right)}{25}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎25 ב- ‎25 ו- ‎25.

$$25r^{2}+10r+1=\left(5r+1\right)\left(5r+1\right)$$

הערך

$$\left(5r+1\right)^{2}$$