פתור את 25p^2-74p-3

$$25 p ^ { 2 } - 74 p - 3$$

פרק לגורמים

$$\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 25p^{2}+ap+bp-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-74 ab=25\left(-3\right)=-75$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -75.

$$1,-75 3,-25 5,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-75=-74 3-25=-22 5-15=-10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -74.

$$a=-75 b=1$$

שכתב את ‎25p^{2}-74p-3 כ- ‎\left(25p^{2}-75p\right)+\left(p-3\right).

$$\left(25p^{2}-75p\right)+\left(p-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 25p ב- 25p^{2}-75p.

$$25p\left(p-3\right)+p-3$$

הוצא את האיבר המשותף p-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$25p^{2}-74p-3=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{\left(-74\right)^{2}-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

‎-74 בריבוע.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476-100\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎-3.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5476+300}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎5476 ל- ‎300.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±\sqrt{5776}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 5776.

$$p=\frac{-\left(-74\right)±76}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-74 הוא ‎74.

$$p=\frac{74±76}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$p=\frac{74±76}{50}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{74±76}{50} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎74 ל- ‎76.

$$p=\frac{150}{50}$$

חלק את ‎150 ב- ‎50.

$$p=3$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{74±76}{50} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎76 מ- ‎74.

$$p=-\frac{2}{50}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-2}{50} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$p=-\frac{1}{25}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎3 במקום x_{1} וב- ‎-\frac{1}{25} במקום x_{2}.

$$25p^{2}-74p-3=25\left(p-3\right)\left(p-\left(-\frac{1}{25}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$25p^{2}-74p-3=25\left(p-3\right)\left(p+\frac{1}{25}\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{25} ל- ‎p על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25p^{2}-74p-3=25\left(p-3\right)\times \frac{25p+1}{25}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎25 ב- ‎25 ו- ‎25.

$$25p^{2}-74p-3=\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$

הערך

$$\left(p-3\right)\left(25p+1\right)$$