פתור את 25n^2-30n+9

$$25 n ^ { 2 } - 30 n + 9$$

פרק לגורמים

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 25n^{2}+an+bn+9. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -30.

$$a=-15 b=-15$$

שכתב את ‎25n^{2}-30n+9 כ- ‎\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right).

$$\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5n בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$5n\left(5n-3\right)-3\left(5n-3\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5n-3 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(25n^{2}-30n+9)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(25,-30,9)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 25n^{2}.

$$\sqrt{25n^{2}}=5n$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$25n^{2}-30n+9=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

‎-30 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎9.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎900 ל- ‎-900.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±0}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-30 הוא ‎30.

$$n=\frac{30±0}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$n=\frac{30±0}{50}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{3}{5} במקום x_{1} וב- ‎\frac{3}{5} במקום x_{2}.

$$25n^{2}-30n+9=25\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

החסר את n מ- \frac{3}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

החסר את n מ- \frac{3}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{5n-3}{5}$$

הכפל את ‎\frac{5n-3}{5} ב- ‎\frac{5n-3}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{5\times 5}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎5.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{25}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎25 ב- ‎25 ו- ‎25.

$$25n^{2}-30n+9=\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

הערך

$$\left(5n-3\right)^{2}$$