פתור את 25b^2-20b+4

$$25 b ^ { 2 } - 20 b + 4$$

פרק לגורמים

$$\left(5b-2\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 25b^{2}+pb+qb+4. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-20 pq=25\times 4=100$$

מאחר ש- pq הוא חיובי, ל- p ול- q יש אותו סימן. מאחר ש- p+q הוא שלילי, p ו- q שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 100.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -20.

$$p=-10 q=-10$$

שכתב את ‎25b^{2}-20b+4 כ- ‎\left(25b^{2}-10b\right)+\left(-10b+4\right).

$$\left(25b^{2}-10b\right)+\left(-10b+4\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5b בקבוצה הראשונה ואת -2 בקבוצה השניה.

$$5b\left(5b-2\right)-2\left(5b-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5b-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5b-2\right)\left(5b-2\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(5b-2\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(25b^{2}-20b+4)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(25,-20,4)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 25b^{2}.

$$\sqrt{25b^{2}}=5b$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 4.

$$\sqrt{4}=2$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(5b-2\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$25b^{2}-20b+4=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$b=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 25\times 4}}{2\times 25}$$

‎-20 בריבוע.

$$b=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 25\times 4}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$b=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-100\times 4}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎4.

$$b=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-400}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎400 ל- ‎-400.

$$b=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$b=\frac{-\left(-20\right)±0}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-20 הוא ‎20.

$$b=\frac{20±0}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$b=\frac{20±0}{50}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{2}{5} במקום x_{1} וב- ‎\frac{2}{5} במקום x_{2}.

$$25b^{2}-20b+4=25\left(b-\frac{2}{5}\right)\left(b-\frac{2}{5}\right)$$

החסר את b מ- \frac{2}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25b^{2}-20b+4=25\times \frac{5b-2}{5}\left(b-\frac{2}{5}\right)$$

החסר את b מ- \frac{2}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25b^{2}-20b+4=25\times \frac{5b-2}{5}\times \frac{5b-2}{5}$$

הכפל את ‎\frac{5b-2}{5} ב- ‎\frac{5b-2}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25b^{2}-20b+4=25\times \frac{\left(5b-2\right)\left(5b-2\right)}{5\times 5}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎5.

$$25b^{2}-20b+4=25\times \frac{\left(5b-2\right)\left(5b-2\right)}{25}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎25 ב- ‎25 ו- ‎25.

$$25b^{2}-20b+4=\left(5b-2\right)\left(5b-2\right)$$

הערך

$$\left(5b-2\right)^{2}$$