פתור את 25a^2-40a+16

$$25 a ^ { 2 } - 40 a + 16$$

פרק לגורמים

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 25a^{2}+pa+qa+16. כדי למצוא את p ו- q, הגדר מערכת לפתרון.

$$p+q=-40 pq=25\times 16=400$$

מאחר ש- pq הוא חיובי, ל- p ול- q יש אותו סימן. מאחר ש- p+q הוא שלילי, p ו- q שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -40.

$$p=-20 q=-20$$

שכתב את ‎25a^{2}-40a+16 כ- ‎\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-20a+16\right).

$$\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-20a+16\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5a בקבוצה הראשונה ואת -4 בקבוצה השניה.

$$5a\left(5a-4\right)-4\left(5a-4\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5a-4 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(25a^{2}-40a+16)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(25,-40,16)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 25a^{2}.

$$\sqrt{25a^{2}}=5a$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 16.

$$\sqrt{16}=4$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$25a^{2}-40a+16=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

‎-40 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎16.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎1600 ל- ‎-1600.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±0}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-40 הוא ‎40.

$$a=\frac{40±0}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$a=\frac{40±0}{50}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{4}{5} במקום x_{1} וב- ‎\frac{4}{5} במקום x_{2}.

$$25a^{2}-40a+16=25\left(a-\frac{4}{5}\right)\left(a-\frac{4}{5}\right)$$

החסר את a מ- \frac{4}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{5a-4}{5}\left(a-\frac{4}{5}\right)$$

החסר את a מ- \frac{4}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{5a-4}{5}\times \frac{5a-4}{5}$$

הכפל את ‎\frac{5a-4}{5} ב- ‎\frac{5a-4}{5} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)}{5\times 5}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎5.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)}{25}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎25 ב- ‎25 ו- ‎25.

$$25a^{2}-40a+16=\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)$$

הערך

$$\left(5a-4\right)^{2}$$