פתור את 25x^2-90x+87=0

$$25 { x }^{ 2 } -90x+87=0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}\approx 1.8+0.489897949i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}\approx 1.8-0.489897949i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$25x^{2}-90x+87=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 25 במקום a, ב- -90 במקום b, וב- 87 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

‎-90 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 87}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎87.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8700}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎8100 ל- ‎-8700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-600}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של -600.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

ההופכי של ‎-90 הוא ‎90.

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎90 ל- ‎10i\sqrt{6}.

$$x=\frac{90+10\sqrt{6}i}{50}$$

חלק את ‎90+10i\sqrt{6} ב- ‎50.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎10i\sqrt{6} מ- ‎90.

$$x=\frac{-10\sqrt{6}i+90}{50}$$

חלק את ‎90-10i\sqrt{6} ב- ‎50.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+87=0$$

החסר ‎87 משני אגפי המשוואה.

$$25x^{2}-90x+87-87=-87$$

החסרת 87 מעצמו נותנת 0.

$$25x^{2}-90x=-87$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{87}{25}$$

חילוק ב- ‎25 מבטל את ההכפלה ב- ‎25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{87}{25}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-90}{25} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{87}{25}$$

חלק את ‎-\frac{18}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{9}{5}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{9}{5} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{87}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{9}{5} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-87+81}{25}$$

הוסף את ‎-\frac{87}{25} ל- ‎\frac{81}{25} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{6}{25}$$

פרק x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{6}{25}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6}{25}}$$

פשט.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{\sqrt{6}i}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{\sqrt{6}i}{5}$$

הוסף ‎\frac{9}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$