פתור את 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

פתור עבור x

$$x=-30$$

$$x=20$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-600. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 10.

$$a=-20 b=30$$

שכתב את ‎x^{2}+10x-600 כ- ‎\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 30 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-20 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-20=0 ו- x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 25 במקום a, ב- 250 במקום b, וב- -15000 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

‎250 בריבוע.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

הכפל את ‎-100 ב- ‎-15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

הוסף את ‎62500 ל- ‎1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-250±1250}{50} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-250 ל- ‎1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

חלק את ‎1000 ב- ‎50.

$$x=20$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-250±1250}{50} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1250 מ- ‎-250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

חלק את ‎-1500 ב- ‎50.

$$x=-30$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=20 x=-30$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

הוסף ‎15000 לשני אגפי המשוואה.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

החסרת -15000 מעצמו נותנת 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

החסר ‎-15000 מ- ‎0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

חלק את שני האגפים ב- ‎25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

חילוק ב- ‎25 מבטל את ההכפלה ב- ‎25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

חלק את ‎250 ב- ‎25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

חלק את ‎15000 ב- ‎25.

$$x^{2}+10x=600$$

חלק את ‎10, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎5. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 5 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

‎5 בריבוע.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

הוסף את ‎600 ל- ‎25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

פרק x^{2}+10x+25 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

פשט.

$$x+5=25 x+5=-25$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$x=20 x=-30$$