פתור את 240-82x+12x^2=0

$$240 - 82 x + 12 x ^ { 2 } = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12}\approx 3.416666667+2.885548282i$$

$$x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}\approx 3.416666667-2.885548282i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$12x^{2}-82x+240=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 12 במקום a, ב- -82 במקום b, וב- 240 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{\left(-82\right)^{2}-4\times 12\times 240}}{2\times 12}$$

‎-82 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-4\times 12\times 240}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎12.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-48\times 240}}{2\times 12}$$

הכפל את ‎-48 ב- ‎240.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{6724-11520}}{2\times 12}$$

הוסף את ‎6724 ל- ‎-11520.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±\sqrt{-4796}}{2\times 12}$$

הוצא את השורש הריבועי של -4796.

$$x=\frac{-\left(-82\right)±2\sqrt{1199}i}{2\times 12}$$

ההופכי של ‎-82 הוא ‎82.

$$x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{2\times 12}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎12.

$$x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{24}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{24} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎82 ל- ‎2i\sqrt{1199}.

$$x=\frac{82+2\sqrt{1199}i}{24}$$

חלק את ‎82+2i\sqrt{1199} ב- ‎24.

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{82±2\sqrt{1199}i}{24} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{1199} מ- ‎82.

$$x=\frac{-2\sqrt{1199}i+82}{24}$$

חלק את ‎82-2i\sqrt{1199} ב- ‎24.

$$x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12} x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}-82x+240=0$$

החסר ‎240 משני אגפי המשוואה.

$$12x^{2}-82x+240-240=-240$$

החסרת 240 מעצמו נותנת 0.

$$12x^{2}-82x=-240$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$\frac{12x^{2}-82x}{12}=-\frac{240}{12}$$

חילוק ב- ‎12 מבטל את ההכפלה ב- ‎12.

$$x^{2}+\left(-\frac{82}{12}\right)x=-\frac{240}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-82}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x=-\frac{240}{12}$$

חלק את ‎-240 ב- ‎12.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x=-20$$

חלק את ‎-\frac{41}{6}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{41}{12}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{41}{12} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x+\left(-\frac{41}{12}\right)^{2}=-20+\left(-\frac{41}{12}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{41}{12} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x+\frac{1681}{144}=-20+\frac{1681}{144}$$

הוסף את ‎-20 ל- ‎\frac{1681}{144}.

$$x^{2}-\frac{41}{6}x+\frac{1681}{144}=-\frac{1199}{144}$$

פרק x^{2}-\frac{41}{6}x+\frac{1681}{144} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{41}{12}\right)^{2}=-\frac{1199}{144}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1199}{144}}$$

פשט.

$$x-\frac{41}{12}=\frac{\sqrt{1199}i}{12} x-\frac{41}{12}=-\frac{\sqrt{1199}i}{12}$$

הוסף ‎\frac{41}{12} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{41+\sqrt{1199}i}{12} x=\frac{-\sqrt{1199}i+41}{12}$$