פתור את 24x^3-14x^2-63x+45=0

$$24 x ^ { 3 } - 14 x ^ { 2 } - 63 x + 45 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 45 ו- q מחלק את המקדם המוביל 24. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{15}{8},±\frac{15}{4},±\frac{45}{8},±\frac{15}{2},±\frac{45}{4},±15,±\frac{45}{2},±45,±\frac{5}{8},±\frac{5}{4},±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{9}{8},±\frac{3}{2},±\frac{9}{4},±3,±\frac{9}{2},±9,±\frac{5}{24},±\frac{5}{12},±\frac{5}{6},±\frac{5}{3},±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1,±\frac{1}{24},±\frac{1}{12},±\frac{1}{6},±\frac{1}{3}$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=\frac{3}{4}$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎24x^{3}-14x^{2}-63x+45 ב- ‎4\left(x-\frac{3}{4}\right)=4x-3 כדי לקבל ‎6x^{2}+x-15. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$6x^{2}+x-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎6 ב- a, את ‎1 ב- b ואת ‎-15 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-1±19}{12}$$

פתור את המשוואה ‎6x^{2}+x-15=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-\frac{5}{3} x=\frac{3}{2}$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3} x=\frac{3}{2}$$