פתור את 24x^2+x-10

$$24 x ^ { 2 } + x - 10$$

פרק לגורמים

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 24x^{2}+ax+bx-10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=24\left(-10\right)=-240$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -240.

$$-1,240 -2,120 -3,80 -4,60 -5,48 -6,40 -8,30 -10,24 -12,20 -15,16$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+240=239 -2+120=118 -3+80=77 -4+60=56 -5+48=43 -6+40=34 -8+30=22 -10+24=14 -12+20=8 -15+16=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-15 b=16$$

שכתב את ‎24x^{2}+x-10 כ- ‎\left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right).

$$\left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$3x\left(8x-5\right)+2\left(8x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 8x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+x-10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

‎1 בריבוע.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-96\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-96 ב- ‎-10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+960}}{2\times 24}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎960.

$$x=\frac{-1±\sqrt{961}}{2\times 24}$$

הוצא את השורש הריבועי של 961.

$$x=\frac{-1±31}{2\times 24}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎24.

$$x=\frac{-1±31}{48}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±31}{48} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎31.

$$x=\frac{30}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{30}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{5}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±31}{48} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎31 מ- ‎-1.

$$x=-\frac{32}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-32}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 16.

$$x=-\frac{2}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{8} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{2}{3} במקום x_{2}.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

החסר את x מ- \frac{5}{8} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\times \frac{3x+2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{8x-5}{8} ב- ‎\frac{3x+2}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{8\times 3}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎3.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{24}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎24 ב- ‎24 ו- ‎24.

$$24x^{2}+x-10=\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

הערך

$$24x^{2}+x-10$$