פתור את 24x^2+6x-3=0

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 8x^{2}+ax+bx-1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -8.

$$-1,8 -2,4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 2.

$$a=-2 b=4$$

שכתב את ‎8x^{2}+2x-1 כ- ‎\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2x ב- 8x^{2}-2x.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4x-1=0 ו- 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 24 במקום a, ב- 6 במקום b, וב- -3 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

‎6 בריבוע.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-96 ב- ‎-3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

הוצא את השורש הריבועי של 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±18}{48} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-6 ל- ‎18.

$$x=\frac{12}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{12}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$x=\frac{1}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±18}{48} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎18 מ- ‎-6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-24}{48} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

החסרת -3 מעצמו נותנת 0.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

החסר ‎-3 מ- ‎0.

$$24x^{2}+6x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

חילוק ב- ‎24 מבטל את ההכפלה ב- ‎24.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{3}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

חלק את ‎\frac{1}{4}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{1}{8}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{1}{8} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{1}{8} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

הוסף את ‎\frac{1}{8} ל- ‎\frac{1}{64} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

פרק x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

פשט.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

החסר ‎\frac{1}{8} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$