פתור את 24a^2-60a+352=0

$$24 a ^ { 2 } - 60 a + 352 = 0$$

פתור עבור a

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1.25+3.619967771i$$

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1.25-3.619967771i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 24 במקום a, ב- -60 במקום b, וב- 352 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

‎-60 בריבוע.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎24.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-96\times 352}}{2\times 24}$$

הכפל את ‎-96 ב- ‎352.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-33792}}{2\times 24}$$

הוסף את ‎3600 ל- ‎-33792.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{-30192}}{2\times 24}$$

הוצא את השורש הריבועי של -30192.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

ההופכי של ‎-60 הוא ‎60.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎24.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎60 ל- ‎4i\sqrt{1887}.

$$a=\frac{60+4\sqrt{1887}i}{48}$$

חלק את ‎60+4i\sqrt{1887} ב- ‎48.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

כעת פתור את המשוואה a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4i\sqrt{1887} מ- ‎60.

$$a=\frac{-4\sqrt{1887}i+60}{48}$$

חלק את ‎60-4i\sqrt{1887} ב- ‎48.

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

החסר ‎352 משני אגפי המשוואה.

$$24a^{2}-60a+352-352=-352$$

החסרת 352 מעצמו נותנת 0.

$$24a^{2}-60a=-352$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$\frac{24a^{2}-60a}{24}=-\frac{352}{24}$$

חילוק ב- ‎24 מבטל את ההכפלה ב- ‎24.

$$a^{2}+\left(-\frac{60}{24}\right)a=-\frac{352}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-60}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 12.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{352}{24}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-352}{24} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{44}{3}$$

חלק את ‎-\frac{5}{2}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{5}{4}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{5}{4} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{44}{3}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{5}{4} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{44}{3}+\frac{25}{16}$$

הוסף את ‎-\frac{44}{3} ל- ‎\frac{25}{16} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{629}{48}$$

פרק a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{629}{48}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{629}{48}}$$

פשט.

$$a-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{1887}i}{12} a-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}$$

הוסף ‎\frac{5}{4} לשני אגפי המשוואה.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$