פתור את 219x^2-12x+4=0

$$219 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0.02739726+0.13234134i$$

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0.02739726-0.13234134i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 219 במקום a, ב- -12 במקום b, וב- 4 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

‎-12 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎219.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-876\times 4}}{2\times 219}$$

הכפל את ‎-876 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-3504}}{2\times 219}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎-3504.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-3360}}{2\times 219}$$

הוצא את השורש הריבועי של -3360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎219.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎4i\sqrt{210}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{210}i}{438}$$

חלק את ‎12+4i\sqrt{210} ב- ‎438.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎4i\sqrt{210} מ- ‎12.

$$x=\frac{-4\sqrt{210}i+12}{438}$$

חלק את ‎12-4i\sqrt{210} ב- ‎438.

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$219x^{2}-12x+4-4=-4$$

החסרת 4 מעצמו נותנת 0.

$$219x^{2}-12x=-4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎219.

$$\frac{219x^{2}-12x}{219}=-\frac{4}{219}$$

חילוק ב- ‎219 מבטל את ההכפלה ב- ‎219.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{219}\right)x=-\frac{4}{219}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{219} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x=-\frac{4}{219}$$

חלק את ‎-\frac{4}{73}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{73}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{73} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{4}{219}+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{73} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{4}{219}+\frac{4}{5329}$$

הוסף את ‎-\frac{4}{219} ל- ‎\frac{4}{5329} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{280}{15987}$$

פרק x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{280}{15987}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{280}{15987}}$$

פשט.

$$x-\frac{2}{73}=\frac{2\sqrt{210}i}{219} x-\frac{2}{73}=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}$$

הוסף ‎\frac{2}{73} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$