פתור את 21x^2+11x-2

$$21 x ^ { 2 } + 11 x - 2$$

פרק לגורמים

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 21x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=11 ab=21\left(-2\right)=-42$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 11.

$$a=-3 b=14$$

שכתב את ‎21x^{2}+11x-2 כ- ‎\left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right).

$$\left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$3x\left(7x-1\right)+2\left(7x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 7x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}+11x-2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

‎11 בריבוע.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎21.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

הכפל את ‎-84 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\times 21}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\times 21}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\times 21}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎21.

$$x=\frac{-11±17}{42}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±17}{42} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-11 ל- ‎17.

$$x=\frac{6}{42}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{42} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{1}{7}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-11±17}{42} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎-11.

$$x=-\frac{28}{42}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-28}{42} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 14.

$$x=-\frac{2}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{7} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{2}{3} במקום x_{2}.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\times \frac{3x+2}{3}$$

הכפל את ‎\frac{7x-1}{7} ב- ‎\frac{3x+2}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{7\times 3}$$

הכפל את ‎7 ב- ‎3.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{21}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎21 ב- ‎21 ו- ‎21.

$$21x^{2}+11x-2=\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

הערך

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$