פתור את 21x^2-x-2

$$21 { x }^{ 2 } -x-2$$

פרק לגורמים

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 21x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=21\left(-2\right)=-42$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-7 b=6$$

שכתב את ‎21x^{2}-x-2 כ- ‎\left(21x^{2}-7x\right)+\left(6x-2\right).

$$\left(21x^{2}-7x\right)+\left(6x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 7x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$7x\left(3x-1\right)+2\left(3x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}-x-2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎21.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

הכפל את ‎-84 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2\times 21}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎168.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2\times 21}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2\times 21}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±13}{2\times 21}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎21.

$$x=\frac{1±13}{42}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±13}{42} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎13.

$$x=\frac{14}{42}$$

צמצם את השבר ‎\frac{14}{42} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 14.

$$x=\frac{1}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±13}{42} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎1.

$$x=-\frac{12}{42}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{42} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=-\frac{2}{7}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{3} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{2}{7} במקום x_{2}.

$$21x^{2}-x-2=21\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{7}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$21x^{2}-x-2=21\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{3x-1}{3}\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

הוסף את ‎\frac{2}{7} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{7x+2}{7}$$

הכפל את ‎\frac{3x-1}{3} ב- ‎\frac{7x+2}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)}{3\times 7}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎7.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)}{21}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎21 ב- ‎21 ו- ‎21.

$$21x^{2}-x-2=\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

הערך

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$