פתור את 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1.434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0.034846923$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 20 במקום a, ב- -28 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

‎-28 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

הכפל את ‎-80 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

הוסף את ‎784 ל- ‎80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

הוצא את השורש הריבועי של 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

ההופכי של ‎-28 הוא ‎28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎28 ל- ‎12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

חלק את ‎28+12\sqrt{6} ב- ‎40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12\sqrt{6} מ- ‎28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

חלק את ‎28-12\sqrt{6} ב- ‎40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$20x^{2}-28x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

חילוק ב- ‎20 מבטל את ההכפלה ב- ‎20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-28}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

חלק את ‎-\frac{7}{5}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{10}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{10} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{10} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

הוסף את ‎\frac{1}{20} ל- ‎\frac{49}{100} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

הוסף ‎\frac{7}{10} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$