פתור את 20x^2+x-1>0

$$20 x ^ { 2 } + x - 1 > 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{5},\infty\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$20x^{2}+x-1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎20 ב- a, את ‎1 ב- b ואת ‎-1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-1±9}{40}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-1±9}{40} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{1}{4}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$20\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)>0$$

כדי שהמכפלה תהיה חיובית, ‎x-\frac{1}{5} ו- ‎x+\frac{1}{4} חייבים שניהם להיות שליליים או חיוביים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{1}{5} ו- ‎x+\frac{1}{4} שניהם שליליים.

$$x-\frac{1}{5}<0 x+\frac{1}{4}<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x<-\frac{1}{4}.

$$x<-\frac{1}{4}$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\frac{1}{5} ו- ‎x+\frac{1}{4} שניהם חיוביים.

$$x+\frac{1}{4}>0 x-\frac{1}{5}>0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x>\frac{1}{5}.

$$x>\frac{1}{5}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x<-\frac{1}{4}\text{; }x>\frac{1}{5}$$