פתור את 20p^2+33p+16=6

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

פתור עבור p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0.4$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎6 משני האגפים.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

החסר את 6 מ- 16 כדי לקבל 10.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 20p^{2}+ap+bp+10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 33.

$$a=8 b=25$$

שכתב את ‎20p^{2}+33p+10 כ- ‎\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right).

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4p בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5p+2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 5p+2=0 ו- 4p+5=0.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

החסרת 6 מעצמו נותנת 0.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

החסר ‎6 מ- ‎16.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 20 במקום a, ב- 33 במקום b, וב- 10 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

‎33 בריבוע.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎20.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

הכפל את ‎-80 ב- ‎10.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

הוסף את ‎1089 ל- ‎-800.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎20.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{-33±17}{40} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-33 ל- ‎17.

$$p=-\frac{16}{40}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-16}{40} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$p=-\frac{2}{5}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{-33±17}{40} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎-33.

$$p=-\frac{50}{40}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-50}{40} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$p=-\frac{5}{4}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

החסר ‎16 משני אגפי המשוואה.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

החסרת 16 מעצמו נותנת 0.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

החסר ‎16 מ- ‎6.

$$20p^{2}+33p=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

חילוק ב- ‎20 מבטל את ההכפלה ב- ‎20.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-10}{20} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

חלק את ‎\frac{33}{20}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{33}{40}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{33}{40} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{33}{40} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{2} ל- ‎\frac{1089}{1600} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

פרק p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

פשט.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

החסר ‎\frac{33}{40} משני אגפי המשוואה.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$