פתור את 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

פתור עבור x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 20x^{2}+ax+bx-1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-5 b=4$$

שכתב את ‎20x^{2}-x-1 כ- ‎\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 5x ב- 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

הוצא את האיבר המשותף 4x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 4x-1=0 ו- 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$20x^{2}-x-1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 20 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- -1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

הכפל את ‎-80 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

הוצא את השורש הריבועי של 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±9}{40} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎9.

$$x=\frac{10}{40}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{40} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±9}{40} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎9 מ- ‎1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-8}{40} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

הוסף ‎1 לשני אגפי המשוואה.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

החסרת -1 מעצמו נותנת 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

החסר ‎-1 מ- ‎0.

$$20x^{2}-x=1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

חילוק ב- ‎20 מבטל את ההכפלה ב- ‎20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

חלק את ‎-\frac{1}{20}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{40}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{40} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{40} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

הוסף את ‎\frac{1}{20} ל- ‎\frac{1}{1600} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

פרק x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

הוסף ‎\frac{1}{40} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$