פתור את 2z^3+3z^2+8z-5=0

$$2 z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 8 z - 5 = 0$$

פתור עבור z (complex solution)

$$z=-1-2i$$

$$z=\frac{1}{2}=0.5$$

$$z=-1+2i$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -5 ו- q מחלק את המקדם המוביל 2. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$z=\frac{1}{2}$$

לפי משפט הגורמים , z-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎2z^{3}+3z^{2}+8z-5 ב- ‎2\left(z-\frac{1}{2}\right)=2z-1 כדי לקבל ‎z^{2}+2z+5. פתור את המשוואה שבה התוצאה שווה ל-0.

$$z^{2}+2z+5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎2 ב- b ואת ‎5 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 5}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$z=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎z^{2}+2z+5=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$z=-1-2i z=-1+2i$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$z=\frac{1}{2} z=-1-2i z=-1+2i$$

פתור עבור z

$$z=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -5 ו- q מחלק את המקדם המוביל 2. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±\frac{5}{2},±5,±\frac{1}{2},±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$z=\frac{1}{2}$$

לפי משפט הגורמים , z-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎2z^{3}+3z^{2}+8z-5 ב- ‎2\left(z-\frac{1}{2}\right)=2z-1 כדי לקבל ‎z^{2}+2z+5. פתור את המשוואה שבה התוצאה שווה ל-0.

$$z^{2}+2z+5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎2 ב- b ואת ‎5 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$z=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 5}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$z=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$z\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$z=\frac{1}{2}$$