פתור את 2z^2-23z+30

$$2 z ^ { 2 } - 23 z + 30$$

פרק לגורמים

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2z^{2}+az+bz+30. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-23 ab=2\times 30=60$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -23.

$$a=-20 b=-3$$

שכתב את ‎2z^{2}-23z+30 כ- ‎\left(2z^{2}-20z\right)+\left(-3z+30\right).

$$\left(2z^{2}-20z\right)+\left(-3z+30\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 2z בקבוצה הראשונה ואת -3 בקבוצה השניה.

$$2z\left(z-10\right)-3\left(z-10\right)$$

הוצא את האיבר המשותף z-10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2z^{2}-23z+30=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 2\times 30}}{2\times 2}$$

‎-23 בריבוע.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 2\times 30}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-8\times 30}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎30.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-240}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎529 ל- ‎-240.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 289.

$$z=\frac{-\left(-23\right)±17}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-23 הוא ‎23.

$$z=\frac{23±17}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$z=\frac{23±17}{4}$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{23±17}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎23 ל- ‎17.

$$z=\frac{40}{4}$$

חלק את ‎40 ב- ‎4.

$$z=10$$

כעת פתור את המשוואה z=\frac{23±17}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎17 מ- ‎23.

$$z=\frac{6}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$z=\frac{3}{2}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎10 במקום x_{1} וב- ‎\frac{3}{2} במקום x_{2}.

$$2z^{2}-23z+30=2\left(z-10\right)\left(z-\frac{3}{2}\right)$$

החסר את z מ- \frac{3}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2z^{2}-23z+30=2\left(z-10\right)\times \frac{2z-3}{2}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2z^{2}-23z+30=\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$

הערך

$$\left(z-10\right)\left(2z-3\right)$$